Родился 19 февраля 1926 г. в с. Дегтяное Спасского у. Рязанской губ. (ныне Спасский р-н). Отец, который работал заведующим производством на Песочинском крахмальном заводе, и мать – домохозяйка - воспитывали четырех детей. В 1943 г. окончил 10 классов средней школы. Занимался в стрелковом кружке Осоавиахима, где сдал нормы на значок «Ворошиловский стрелок», ГТО и ПВХО. Поступил в Рязанский строительный техникум.

16 ноября 1943 г. Путятинским РВК призван в Красную Армию. Шесть месяцев учился в школе сержантов. На фронтах Великой Отечественной войны с июня 1944 г. Служил наводчиком, затем командиром 45-мм пушки. Воевал на 1-м Белорусском фронте, участвовал в форсировании рек Западный Буг, Висла, Одер, в битве за г. Берлин.

Командир орудия 738-го стр. полка (134-я стр. дивизия, 69-я армия, 1-й Белорусский фронт) ефрейтор Зайцев отличился вместе с расчетом 20 июля 1944 г. Находясь в составе головной походной заставы, расчет орудия во время боя по захвату моста через р. Западный Буг уничтожил 3 пулеметные точки и 2 орудия противника. Кроме того, пушка вела огонь по контратаковавшей пехоте. Захватив переправу и создав плацдарм, часть обеспечила наступление своей дивизии. 22 августа 1944 г. весь расчет был награжден орденом Славы 3-й степ.

Продолжая наступление в ходе Люблин-Брестской операции 18 июля – 2 августа 1944 г., 69-я армия наносила удар южнее г. Бреста (Белоруссия) в направлении на г. Люблин (Польша). Войска армии с 29 июля по 1 августа форсировали р. Вислу на фронте шириной около 25 км, захватили и удерживали Пулавский плацдарм на ее левом берегу в районе г. Пулавы. 29 июля 1944 г. в бою по расширению плацдарма на левом берегу р. Вислы в районе населенного пункта Казимеж (Польша) Зайцев в составе расчета уничтожил 2 огневые точки и свыше 10 солдат противника. 17 февраля 1945 г. награжден орденом Славы 2-й ст. Член ВКП(б) с 1945 г.

Участвуя в Варшавско-Познанской операции 14 января – 3 февраля 1945 г., войска 69-й армии прорвали оборону противника на глубину до 20 км. Продолжая наступление, освободили г. Лодзь (Польша), а 29 января, преодолев Мезерицкий укрепрайон, вступили на территорию Германии. К апрелю 1945 г. войска 1-го Белорусского фронта форсировали р. Одер и вышли к Зееловским высотам в 50-60 км от г. Берлина. На высотах был создан мощный узел сопротивления, который имел сплошные траншеи, большое количество дзотов, пулеметных площадок, окопов для артиллерии, противотанковых и противопехотных заграждений. 69-я армия наступала в южной части Зееловских высот, заходя севернее г. Франкфурта (Германия).

Командир артиллерийского расчета Зайцев 24 апреля 1945 г. при расширении плацдарма на левом берегу р. Одер и прорыве обороны противника в районе населенного пункта Бризен (15 км западнее г. Франкфурт), находился в боевых порядках наступающей пехоты, командуя бойцами, он из орудия истребил большое количество живой силы противника. Был тяжело ранен.

Из наградного листа: «Отражая контратаки противника у деревни Бризен (Зееловские высоты), товарищ Зайцев был тяжело ранен, но не оставил поле боля, а самоотверженно и бесстрашно продолжал громить фашистов, уничтожив при этом 25 вражеских солдат… Личным примером он увлек бойцов своего орудийного расчета на решительный бой с контратакующим противником». После боя был отправлен в медсанбат, затем в один из госпиталей г. Новосибирска. В июле 1945 г. демобилизован по ранению. 24 апреля 1946 г. представлен к награде и 15 мая 1946 г. награжден орденом Славы 1-й степ. В одном полку с Зайцевым воевал уроженец с. Ижевское Спасского р-на полный кавалер ордена Славы Алексей Ильич Петров.

В 1946 г. поступил в Московское высшее техническое училище им. Н.Э. Баумана (МВТУ). Но, проучившись полгода, возвратился домой по болезни: давала знать о себе фронтовая рана. В 1947 г. поступил на 2-й курс Рязанского строительного техникума, который окончил с отличием. По распределению был направлен на работу в Рязанский крахмало-паточный трест на должность инженера-строителя. В 1955 поступил и в 1963 г. окончил строительный факультет Всесоюзного заочного политехнического института. В июле 1957 г. Александр Павлович по решению парторганизации был направлен на работу в Рязанский совнархоз. После реорганизации совнархоза переведен на должность заместителя председателя облпотребсоюза по строительству. С 1968 г. до последних дней жизни Зайцев работал заместителем директора по строительству Рязанского приборного завода, отдавая много сил и энергии строительству и реконструкции предприятия. 24-26 апреля 1970 г. был участником Всесоюзной встречи кавалеров ордена Славы трех степеней в г. Москве, посвященной 25-летию Победы.

Награжден медалями.

Умер 6 июля 1979 г., похоронен на Скорбященском кладбище. Его имя увековечено на заводской стеле, установленной в честь 60-летия Победы. В июне 2007 г. портрет Александра Павловича Зайцева пополнил аллею Славы в г. Спасск-Рязанский.