Родился 15 марта 1921 г. в д. Дуброво Касимовского у. Рязанской губ. (ныне Касимовский р-н) в крестьянской семье. Когда Алексею исполнилось 14 лет, умер отец. Алексей остался старшим мужчиной в семье, в которой было шестеро детей. Окончив 5 классов, оставил учебу и стал работать в колхозе. В 16 лет уехал в г. Москву. Получив профессию автослесаря, трудился в Первомайском промтресте.

В октябре 1940 г. Ухтомским РВК Московской обл. призван в Красную Армию. Служил стрелком в 12-й корпусной авиац. эскадрилье, дислоцированной в г. Улан-Удэ (Бурятия). Во время службы проявил себя как отличный стрелок и спортсмен.

С началом Великой Отечественной войны направлен в разведшколу. В июле 1942 г. рядовой Жамков переведен в разведывательную роту 244-го гв. стр. полка (82-я гв. Запорожская ордена Богдана Хмельницкого стр. дивизия, 62-я (с апреля 1943 г. - 8-я гв.) армия, Сталинградский фронт). С сентября 1943 по март 1945 г. – командир стр. отделения 83-й гв. разведывательной роты. Боевое крещение получил в боях под Сталинградом. Не раз проникал в тыл противника, добывал ценные сведения, участвовал в захвате «языков». В декабре 1943 г. на р. Северском Донце во время рейда в тыл врага был ранен. После лечения вернулся в свою роту, в ее составе форсировал р. Днепр.

Дважды отличился в боях за г. Одессу. В ночь на 29 марта 1944 г. гв. ефрейтор Жамков (83-я отдельная гв. разведывательная рота, 8-я гв. армия, 3-й Украинский фронт) с группой разведчиков ворвался в д. Континенталь (38 км южнее г. Вознесенска Николаевской обл., Украина) и лично захватил в плен трех вражеских солдат. 30 марта в составе группы принимал участие в разгроме вражеского гарнизона в колонии Вормос. Группа разведчиков, действовавшая впереди наступавших частей, ворвалась в поселок и уничтожила до 30 бойцов противника, 25 было взято в плен. Командир разведывательной роты гв. лейтенант Кравченко докладывал комдиву, гв. генералу И.А. Макаренко, что в этом бою ефрейтор Жамков лично уничтожил шестерых солдат противника и четырех взял в плен. Пленные дали ценные сведения, что помогло дивизии успешно решить боевую задачу. 20 апреля 1944 г. награжден орденом Славы 3-й степ.

Жамков неоднократно получал благодарности от командира дивизии за выполнение боевых заданий на днестровском плацдарме. Летом 1944 г. дивизия, в составе которой служил Алексей Иванович, воевала на 1-м Белорусском фронте. В числе первых она форсировала р. Западный Буг и вышла к польской границе. 20 января 1945 г. на подступах к г. Рава-Мазовецка (Польша) конный взвод во главе со старшиной Андреевым выполнял разведывательную задачу. Жамков, действуя в головном дозоре, вступил в неравный бой с 60 солдатами противника, лично поразил около 10. Почти час он с товарищами отражал огневую атаку противника, одного взяли в плен. До подхода взвода удерживали занятый дом.

25 января 1945 г., ведя разведку на подступах к г. Лодзь (Польша), гвардеец Жамков в числе первых проник в город и в одном из домов сразил 8 пехотинцев врага и трех взял в плен. 17 марта 1945 г. за смелые и мужественные действия при выполнении разведывательных заданий награжден орденом Славы 2-й степ.

18 февраля 1945 г. гв. ефрейтор Жамков назначен со штабными офицерами на рекогносцировку местности обороны противника на подступах к г. Познань (Польша). Во время выхода группы на передний край противник обнаружил ее и открыл пулеметный огонь. Офицеры с боем прорывались к своим. Заметив тяжело раненного командира батальона майора Богданова, Жамков, рискуя жизнью, стал выносить его с поля боя. Укрыв командира в воронку от тяжелого снаряда, отражал натиск преследовавшего врага, автоматным огнем уничтожил 16 солдат противника. 23 февраля, после освобождения Познани, дивизию перебросили на Кюстринский плацдарм. Отсюда она штурмовала крепость Кюстрин, в решении этой задачи войскам помогали разведчики. 16 апреля началось наступление на г. Берлин. При штурме рейхстага Жамков был ранен, но ушел в медсанбат только после того, как 2 мая противник прекратил сопротивление. 31 мая 1945 г. награжден орденом Славы 1-й степ.

После демобилизации в 1946 г. вернулся в родное село, работал в колхозе. В 1948 г. семья переехала в г. Москву. Около 40 лет, до выхода на пенсию, работал в Главмосстрое (трест «Мосстрой-7») сначала каменщиком-монтажником, а затем более 20 лет - бригадиром. Участвовал в возведении гостиницы «Ленинградская», онкологического научного центра Академии медицинских наук СССР, московских микрорайонов Кузьминки, Текстильщики, Люблино, школ и многих других объектов.

Не раз приезжал в Касимовский район, в родное село. Участник Парада Победы 1995 г.

Награжден орденами Отечественной войны 1-й степ., Трудовой Славы 3-й степ., медалями «За оборону Сталинграда», «За взятие Берлина», «За доблестный труд. В ознаменование 100-летия со дня рождения В.И. Ленина».

Умер 25 июля 2004 года. Похоронен на Кузьминском кладбище в Москве.