Родился 7 ноября (25 октября) 1916 г. в с. Курсеби ныне Кутаисского р-на Грузии в крестьянской семье. В 1931 г. окончил 7-летнюю школу. Работал на Курсебском гранитном заводе. С 1937 г. окончил электротехнический факультет Кутаисского индустриального техникума, по окончании которого работал дежурным электриком Рионской гидроэлектростанции. В сентябре 1938 г. поступил на арт. факультет Закавказской пехотной школы, которая вскоре была переименована в Тбилисское арт. училище. В феврале 1940 г. досрочно выпущен в звании лейтенанта и направлен в 584-й запасной арт. полк командиром огневого взвода в г. Борисоглебск Воронежской обл. Полк занимался подготовкой артиллеристов – участников советско-финляндской войны 1939-1940 гг., после окончания которой был расформирован.

К началу Великой Отечественной войны лейтенант Алпаидзе – командир батареи 32-го стр. полка 19-й стр. дивизии. В боевых действиях с июля 1941 г. в боях под г. Смоленском. Участник битвы под г. Москвой, боев в районе г. Малый Ярославец Калужской обл., Курской битвы. Член ВКП(б) с 1942 г. При форсировании Днепра в заместитель командира арт. полка Алпаидзе заменил раненого командира полка; приняв командование, руководил боем по расширению и удержанию захваченного плацдарма на правом берегу реки. За два года службы в 53-й стр. дивизии Алпаидзе занимал должности заместителя командира и командира дивизиона, начальника штаба арт. полка. Участник Корсунь-Шевченковской и Ясско-Кишиневской операций.

В ноябре после ранения и излечения Алпаидзе назначается командиром 972-го арт. полка 113-й стр. дивизии, сформированной в начале войны из ополченцев Фрунзенского района г. Москвы. Этим полком он будет командовать до победы и еще год после войны.

Командир 972-го арт. полка (113-я стр. дивизия, 57-я армия, 3-й Украинский фронт) майор Алпаидзе отличился в марте 1945 г. в районе оз. Балатон (Венгрия). В ходе оборонительных боев полк под его командованием уничтожил 10 танков, 23 огневые точки, подавил огонь 6-ти арт. батарей противника. 11 марта 1945 г. в бою был трижды ранен, но продолжал управлять боем.

Звание Героя Советского Союза присвоено 28 апреля 1945 г.

Войну закончил в районе г. Грац (Австрия).

После войны продолжал службу в армии. В 1946 г. подполковник Алпаидзе избирался депутатом Верховного Совета СССР от особого избирательного округа Южной группы советских войск. Окончил Военную арт. инженерную академию. В 1953-1955 гг. – начальник отдела боевой подготовки наземной и зенитной артиллерии Северо-Кавказского военного округа. В 1957 г. окончил Военную академию Генштаба. Назначен командиром 4-й арт. дивизии прорыва Резерва Верховного Главнокомандования, с 1959 г. - 1-й заместитель 4-го Государственного центрального полигона Капустина Яра. Позже - начальник Научно-исследовательского испытательного полигона МО СССР - космодрома Плесецк.

С 1975 г. генерал-лейтенант Алпаидзе в отставке. Жил в г. Москве. В 1976 г. удостоен звания лауреата Государственной премии СССР. До 1992 г. работал заместителем директора - главного конструктора Московского института теплотехники. С 1992 г. жил в Рязани.

Награжден орденом Ленина, 2 орденами Красного Знамени, орденами Александра Невского, Отечественной войны 1-й степ., Трудового Красного Знамени, 4 орденами Красной Звезды, румынским и венгерским орденами, медалями.

Умер 2 мая 2006 г. Похоронен на Троекуровском кладбище в Москве.

Почетный гражданин городов: Малоярославец, Мирный, Ткибули. В родном селе установлен бюст Героя.

В Москве, на доме 2 корпус 1 по улице Кибальчича, в котором жил Герой, установлена мемориальная доска.

В Рязани на фасаде дома № 36 по улице Семена Середы установлена мемориальная доска со словами: «В этом доме жил Герой Советского Союза Алпаизде Галактион Елисеевич (07.11.1916 - 02.05.2006)».