Родился 8 октября 1922 г. в с. Ломовое Раненбургского уезда Рязанской губернии (ныне Чаплыгинский район Липецкой области) в крестьянской семье. Окончил семилетнюю школу и ФЗУ. Работал механиком на обувной фабрике «Парижская коммуна» г. Москвы. Учился в летной школе аэроклуба.

В Красной армии с 1940 г. В 1941 г. окончил Балашовскую военную школу пилотов (ныне Балашовский учебный авиационный центр (785-й УАЦ) - 4 авиационный факультет Краснодарского военного авиационного института) в г. Балашове Саратовской области. Во время Великой Отечественной войны проходил службу в запасном авиационном полку Северо-Кавказского военного округа, затем в других авиационных частях. Член ВКП(б) с 1945 г. В 1950-х гг. служил в Особом корпусе советских войск, дислоцированном на территории Венгерской Народной Республики.

Командир авиационной эскадрильи 880-го гвардейского бомбардировочного авиационного полка 177-й гвардейской бомбардировочной авиационной дивизии Южной группы советских войск (Венгрия) гвардии капитан Александр Бобровский в октябре – ноябре 1956 г. в составе советских войск участвовал в подавлении Венгерского восстания.

7 ноября 1956 г. командир экипажа бомбардировщика Ил-28Р гвардии капитан Бобровский, штурман – гвардии капитан Кармишин Дмитрий Дмитриевич, радист – гвардии старший лейтенант Ярцев Владимир Егорович выполняли боевое задание командования – аэрофотосъемку военных заводов. Умело и четко выполнив поставленную задачу и передав ценные разведывательные данные в штаб, советские летчики при возвращении на свой аэродром подверглись зенитному обстрелу в районе острова Чепель на р. Дунай (ныне в черте г. Будапешт). Здесь продолжали сопротивление до 700 повстанцев, имевших на вооружении крупнокалиберные пулеметы, зенитные и противотанковые орудия. Ими был сбит советский самолет-разведчик. Экипаж погиб, до конца исполнив воинский и интернациональный долг. Останки офицеров-гвардейцев были вывезены в Советский Союз и захоронены на Лычаковском кладбище г. Львова (Украина).

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 18 декабря 1956 г. за мужество и отвагу, проявленные при выполнении воинского долга, гвардии капитану Бобровскому Александру Андреевичу присвоено звание Героя Советского Союза (посмертно).

Награжден орденом Ленина, медалями «За боевые заслуги», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.», «30 лет Советской Армии и Флота».

Именем Героя Советского Союза А.А. Бобровского названа улица на его родине - в с. Ломовое Липецкой области.

В 2012 г. в серии «Знаменитые рязанцы» вышла почтовая карточка с портретом Героя Советского Союза Александра Андреевича Бобровского.