Родился 18 августа 1913 г. в д. Коростино Касимовского у. Рязанской губ. (ныне Касимовский р-н) в семье крестьянина-середняка. Отец, Кузьма Афанасьевич, ежегодно уходил на сезонные заработки в г. Москву, где работал по найму по обработке мехов. Мать, Ирина Григорьевна, занималась домашним хозяйством. Отец принимал активное участие в установлении Советской власти в уезде, был дважды делегирован на Всероссийский съезд Советов от Касимовского уездного исполкома рабочих, крестьянских и солдатских депутатов. В 1925 г. переехал на постоянное жительство в г. Москву, где занимал различные административные и хозяйственные должности.

Алексей остался с сестрами в г. Касимове, учился в 7-летней школе, которую окончил в 1929 г. В том же году переехал к родителям в Москву и поступил в школу ФЗУ Москоопмехпрома. С 1932 г. работал обрубщиком на заводах № 1 и № 2 ОГПУ по обработке цветных металлов. Затем - на строительстве московского холодильника № 7 Главхладпрома кладовщиком, заместителем начальника технологического цеха, учился на вечернем отделении Московского техникума холодильной промышленности. В 1938 г. был переведен на работу в г. Горький (ныне г. Нижний Новгород), в марте 1939 г. - в г. Москву.

22 июня 1941 г. призван в Красную Армию Дзержинским РВК г. Москвы, направлен в Ярославское военно-хозяйственное училище на краткосрочные курсы, по окончании которых Чубарову было присвоено звание техника-интенданта 2-го ранга. С ноября 1941 г. по март 1943 г. – помощник начальника продотдела 1-й ударной армии Западного, затем - Северо-Западного фронтов. В марте 1943 г., после переподготовки, направлен на должность командира стр. взвода в 200-ю стр. дивизию, с которой участвовал в боях на Северо-Западном фронте до его расформирования в ноябре 1943 г., до октября 1944 г., - командир роты 1-го стр. полка (99-я Житомирская Краснознаменная стр. дивизия, 46-я армия, 1-й Украинский фронт). С ноября 1944 г. ст. лейтенант Чубаров в том же подразделении, но в составе 2-го Украинского фронта, участвовал в форсировании р. Дунай севернее г. Эрчи (Венгрия).

Из наградного листа: «Тов. Чубаров под сильным огнем противника 5 декабря 1944 г. первый со своей лодкой достиг берега Дуная... повел роту на штурм вражеских укреплений. Противник оказывал сильное сопротивление, завязался гранатный бой, но ... рота прорвала передний край противника и успешно достигла указанного рубежа. Его рота в течение суток отразила 10 контратак противника и штурмом овладела д. Крзепхелом. Когда противник бросил в контратаку 6 танков и до батальона пехоты, тов. Чубаров призвал бойцов «Стоять насмерть», не отдать врагу завоеванного рубежа. Бойцы, не щадя своей жизни, дрались до последней капли крови, удержали занятый рубеж, отбили контратаку превосходящих сил противника. Задача его ротой была с честью выполнена. В неравном бою с врагами тов. Чубаров был тяжело ранен...».

Звание Героя Советского Союза присвоено 24 марта 1945 г.

7 апреля 1945 г. демобилизован. Возвратился в Москву, затем был направлен в г. Рязань на должность директора Рязанского холодильника. В 1947 г. переведен на ту же должность в г. Горький. После увольнения в 1948 г. жил в городах Астрахани, Полтаве, Новочеркасске.

Награжден орденом Ленина, медалями.

Умер 10 сентября 1964 г.