Родился 13 августа 1911 г. в г. Рязани. Отец, Леонид Романович, родился в семье священника д. Маслянка Шадринского у. Пермской губ. После окончания в 1896 г. юридического факультета МГУ служил членом Рязанского окружного суда в городах Спасске и Рязани. Мать, Варвара Алексеевна, происходила из дворянской семьи.

В 1914 г. семья Новоспасских переехала в г. Нижний Новгород. После окончания в 1929 г. десятилетки Леонид работал коллектором в гидрологических партиях по исследованию торфяных болот. В 1932 г. Новоспасский поступил на геологическое отделение биофака Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Через полгода отделение биофака было закрыто, и Леонид перешел на физико-математический факультет. После окончания в 1937 г. с отличием университета 1 год работал преподавателем в средней школе, затем - ассистентом кафедры математики Горьковского индустриального института.

В ноябре 1939 г. Новоспасский был призван на военную службу в ВМФ. После прохождения курса молодого краснофлотца во Владивостокском флотском экипаже и принятия присяги Л. Новоспасский стал курсантом курсов командного состава Тихоокеанского флота при Ленинградском высшем военно-морском училище имени М.В. Фрунзе.

В декабре 1940 г. Новоспасский был переведен на Лиепайскую военно-морскую базу для дальнейшего прохождения учебы и практики. В начале мая 1941 г. курсы в Лиепае были преобразованы в училище ПВО ВМФ. Курсанты второго года обучения, в том числе Л. Новоспасский, были направлены в Ленинградское высшее военно-морское училище для прохождения второй морской практики и сдачи экзаменов.

В августе 1941 г. Новоспасскому досрочно присвоено звание мл. лейтенанта, он был направлен на Северный флот помощником командира катера «Малый охотник». Наступивший 1942 г. Новоспасский встретил в должности командира катера «МО-423».

Экипаж «Морского охотника» под командованием Новоспасского принимал активное участие в высадке морских десантов в тыл врага, огнем поддерживал наши войска на прибрежных направлениях, отражал воздушные атаки противника, конвоировал караваны транспортов, доставлявших материалы и боевую технику, участвовал в установке минных заграждений.

За годы войны командир катера «МО-423» 2-го гв. дивизиона малых охотников (охрана водного района Главной базы Северного флота) гв. ст. лейтенант Новоспасский успешно провел 20 десантных операций на берег противника, более 175 раз эскортировал подводные лодки и конвоировал на вражеский берег десантные группы. 25 раз выходил на спасение экипажей гибнущих кораблей и самолетов.

Отвагу и высокое воинское мастерство проявил Л. Новоспасский в операции по захвату и освобождению Печенги. В ночь с 12 на 13 октября 1944 г. наши катера вышли в море, чтобы прорваться в Петсамский залив и высадить десант в Печенге. Катер Новоспасского был флагманским. На нем находился командир дивизиона капитан 2 ранга С. Зюзин. На борту разместился десант. Под ураганным огнем противника катерам надо было прорваться в порт Линахамари и высадить десант.

Катер Новоспасского получил несколько прямых попаданий фашистских снарядов. Из строя вышел правый мотор, но катер продолжал выполнять задание. Были ранены штурман дивизиона ст. лейтенант Федченко и командир дивизиона Зюзин. Новоспасский остался на посту и с большим мастерством первым подвел катер к берегу, десант был успешно высажен, порт Линахамари взят штурмом морской пехоты.

Из представления к награждению командования дивизиона: «За отвагу и героизм, мастерское выполнение боевого задания по высадке десанта на побережье в районе Матти-Вуоно, бесстрашие, проявленные при прорыве в сильно укрепленную базу немцев Линахамари, и успешную высадку десанта на побережье вблизи границы с Норвегией, а также за выполнение ряда десантных операций и конвойной службы ходатайствуем удостоить гв. ст. лейтенанта Новоспасского правительственной награды - звания «Героя Советского Союза».

Звание Героя Советского Союза присвоено 5 ноября 1944 г.

Дивизион «морских охотников», в котором был и катер Новоспасского, получил звание гвардейского. На его стяге появился орден Красного Знамени. После освобождения Линахамари Новоспасский был назначен командиром отдельного отряда катеров. В 1946 г. он получил назначение на Дальний Восток, на Тихоокеанский флот. В 1948 г. направлен в Главный штаб ВМФ. Работал в Ленинградском НИИ ВМФ. С 1965 г. капитан 1-го ранга Новоспасский - в запасе. Жил в г. Москве. Вел активную общественную работу в ДОСААФ.

Награжден орденами Ленина, Красного Знамени, Нахимова 2-й степ., 3 орденами Красной Звезды, медалями.

Умер 1 сентября 1969 г., похоронен на Новодевичьем кладбище.

На здании Горьковского (ныне Нижегородского) государственного университета установлена мемориальная доска. Его имя носит большой морозильный траулер Мурманского рыбопромыслового флота. В музее Северного флота в Мурманске есть стенд, посвященный боевому пути Героя.

С 1975 г. в Рязанской обл. ежегодно для молодых гребцов на байдарках и каноэ проводятся соревнования, посвященные памяти Новоспасского. Награда за победу в командном зачете - модель боевого корабля «Морской охотник».