Родился 24 января 1896 г. в д. Большое Поярково Михайловского у. Рязанской губ. (ныне д. Поярково Михайловского р-на) в крестьянской семье. В 1908 г. окончил церковно-приходскую школу в с. Хавертово. С двенадцати лет работал в мясной лавке в г. Москве.

Участник 1-й мировой войны. В августе 1915 г. досрочно был призван в армию, зачислен в кавалерию. В 1916 г. получил звание унтер-офицера.

В Красной Армии с мая 1918 г. Участвовал в гражданской войне с 1918 по конец 1920 г. В составе 16-й стр. дивизии воевал на Южном фронте. Выполнял обязанности командира взвода, эскадрона, полка. Был дважды ранен. В 1920 г. награжден орденом Красного Знамени. После окончания гражданской войны в течение 12 лет служил командиром Заамурского кавалерийского полка. В 1925 г. Савельев поступил в высшую кавалерийскую школу, успешно окончил ее по отделению командиров полков. Учился в одной группе с Г.К. Жуковым, К.К. Рокоссовским, И.Х. Баграмяном. В 1932 г. окончил высшую бронетанк. школу, затем – КУКС. В течение 5 лет был начальником военной кафедры Ленинградского института механизации и электрификации сельского хозяйства. В 1938 г. работал преподавателем кафедры тактики в Электротехнической академии связи. В том же году вступил в ряды ВКП(б). С 1939 по 1942 г. – начальник Ленинградского танко-технического училища.

С июля 1942 г. – на фронтах Великой Отечественной войны, воевал на Западном, Ленинградском, 1-м, 2-м и 3-м Украинском фронтах. С апреля по декабрь 1943 г. Савельев выполнял обязанности командира 5-го механизированного корпуса, в начале 1944 г. переведен на должность заместителя командующего 6-й танк. армией. С августа 1944 г. - командир 5-го гв. танк. корпуса этой же армии.

Танкисты генерала Савельева успешно действовали в Ростовской, Донбасской, Мелитопольской, Одесской, Корсунь-Шевченковской наступательных операциях, участвовали в боях за Сталинград и на Курской дуге. «Отряд М.И. Савельева, умело маневрируя, смело прорвался через немецкие части в районе Лисянки и 28 января соединился с 20-м танковым корпусом в г. Звенигородке, отрезав основные тыловые пути Корсунь-Шевченковской группировки противника», – писал Г.К. Жуков.

Савельев принимал участие в освобождении городов Бухареста, Будапешта, Вены. Успешно действовал 5-й гв. танк. корпус в Пражской наступательной операции. 9 мая 1945 г. гвардейцы генерала Савельева первыми ворвались в Прагу.

Командир 5-го гв. Сталинградско-Киевского Краснознаменного орденов Ленина, Суворова, Кутузова танк. корпуса (6-я гв. танк. армия, Забайкальский фронт) Савельев отличился в боях Маньчжурской наступательной операции по разгрому Квантунской армии с 9 августа по 2 сентября 1945 г. Танкисты успешно преодолели сложную природную преграду – самый высокий перевал Большого Хингана Корохан, спуская машины при помощи тросов. Переход через хребет явился подвигом, не имевших себе равных во 2-й мировой войне. Корпус Савельева вышел на Центрально-Маньчжурскую равнину, участвовал в овладении городами Кайлу, Туняло, Мукден (Шэньян), Дайрен (Далянь) и Порт-Артур (Люйшунь).

Звание Героя Советского Союза присвоено 8 сентября 1945 г.

После войны Савельев продолжал службу в ВС. В 1950 г. окончил Высшие академические курсы при Военной академии Генштаба. Был назначен заместителем командующего 7-й механизированной армией. С 1951 г. генерал-лейтенант Савельев – в запасе. Жил в г. Ленинграде (ныне г. Санкт-Петербург).

В мае 1965 г. Савельеву присвоено звание почетного гражданина г. Праги (Чехия).

Награжден 2 орденами Ленина, 4 орденами Красного Знамени, орденом Суворова 1-й степ., 2 орденами Суворова 2-й степ., орденом Отечественной войны 1-й степ., 2 орденами Красной Звезды, 30 иностранными орденами, медалями.

Умер 23 сентября 1970 г.