Родился 1 февраля 1920 г. в с. Плахино Михайловского у. Рязанской губ. (ныне Захаровский р-н) в семье крестьянина. В 1933 г. семья вступила в колхоз «Единый труд». В 1935 г. Анатолий окончил Плахинскую неполную среднюю школу. Осенью 1936 г. Свистунов переехал в г. Москву, поступил в школу ФЗУ при заводе ЗИС (ныне ЗИЛ им. Лихачева) учеником токаря. Работал токарем во 2-м механосборочном и моторном цехах. Посещал аэроклуб Пролетарского р-на Москвы.

В декабре 1940 г. призван в Красную Армию Пролетарским РВК г. Москвы. Был направлен в Борисоглебскую военную авиац. школу пилотов.

С 1 мая 1942 г. в боях Великой Отечественной войны, воевал на Воронежском, 1-м и 2-м Украинском фронтах. Член ВКП(б) с 1944 г.

Командир эскадрильи 213-го гв. истребительного авиац. полка (22-я гв. истребительная авиац. дивизия, 6-й гв. истребительный авиац. корпус, 2-я воздушная армия, 1-й Украинский фронт) гв. капитан Свистунов к маю 1945 г. совершил 274 боевых вылета.

Из наградного листа: «... За время участия в боях против немецких захватчиков с 1 мая 1942 по 1 мая 1945 г. на самолетах ЛаГГ-3, Як-7»б» и «Аэрокобра» произвел 274 боевых вылета, из них: на прикрытие наземных войск – 155, на штурмовку войск противника – 25, на отражение налетов и перехватов самолетов – 38, на свободную охоту – 3 боевых вылета.

Проведено 65 воздушных боев, из которых 40 проведено с численно превосходящими силами противника. В воздушных боях сбил лично 14 самолетов противника: 2 Ю-88, 3 Ю-87, 2 Хе-111, 1 ХШ-123, 1 ФВ-190 и 5 Ме-109. В паре сбил 1 Ме-110, 1 Ю-88, 1Хе-111. В групповых боях сбил 18 самолетов противника: 3 Ме-109, 11 Ю-87 и 4 Хе-111. Своих потерь и потерь ориентировки не имеет.

Из числа сбитых 3 в паре и 18 в группе самолетов противника в личный счет гв. капитану Свистунову засчитаны 4 самолета типа бомбардировщик...».

Звание Героя Советского Союза присвоено 27 июня 1945 г.

Участник Парада Победы в Москве 24 июня 1945 г. в составе частей 1-го Украинского фронта.

Награжден орденом Ленина, 2 орденами Красного Знамени, орденами Отечественной войны 1-й степ., Красной Звезды, медалями.

Погиб 26 апреля 1946 г. в авиационной катастрофе, во время проведения летно-тактических учений. Похоронен на Центральном кладбище г. Вены (Австрия).

Имя Свистунова носит Плахинская средняя школа, в которой есть уголок его памяти. В Музее боевой славы авиац. училища г. Борисоглебска открыт раздел, посвященный Герою.