Родился 20 августа 1914 г. в с. Кузьминское Рязанского у. Рязанской губ. (ныне Рыбновский р-н) в семье рабочего. С 1921 г. жил в г. Актюбинске (Казахская ССР). В 1930 г. окончил 7 классов, в 1935 г. – курсы звукового кино в г. Ленинграде. Работал старшим киномехаником кинотеатра в Актюбинске.

В мае 1940 г. призван Актюбинским горвоенкоматом в Красную Армию. Служил в г. Ашхабаде, в 83-й Туркестанской горностр. дивизии. Накануне Великой Отечественной войны рядовой 428-го горностр. полка окончил полковую школу и стал сержантом.

На фронтах Великой Отечественной войны с сентября 1942 г., боевое крещение получил в боях под г. Туапсе. Вскоре был ранен и более месяца провел в госпитале. Вернувшись в свой полк, принял участие в освобождении Северного Кавказа и Таманского полуострова. Награжден медалями «За боевые заслуги» и «За отвагу». Приказом наркома обороны 83-я Туркестанская горностр. дивизия была преобразована в 128-ю гвардейскую.

Старшина роты 327-го гв. стр. полка (128-я гв. стр. дивизия, Приморская армия, 4-й Украинский фронт) гв. ст. сержант Гришин в мае 1944 г. в одном из боев при освобождении Севастополя уничтожил свыше 10 вражеских солдат, вынес с поля боя 2-х тяжелораненых бойцов.

Из наградного листа: «В боях с немецко-фашистскими захватчиками в апреле-мае 1944 г. в Крыму старшина роты Гришин А.А., не щадя жизни, подвергаясь постоянной опасности, в любой обстановке регулярно доставлял на передний край боеприпасы, пищу и воду. Участвуя в отражении вражеской контратаки на мысе Херсонес, Гришин уничтожил 10 гитлеровцев. Возвращаясь из боя, вынес 2-х тяжелораненых бойцов с оружием». 15 июня 1944 г. награжден орденом Славы 3-й степ.

В мае 1944 г. командир отделения Гришин в боях на мысе Херсонес огнем из ручного пулемета сразил 8 гитлеровцев и подавил 2 огневые точки противника. 30 августа 1944 г. награжден орденом Славы 2-й степ. Член ВКП(б) с 1944 г. В январе 1945 г. награжден вторым орденом Красной Звезды.

В своей книге «Карпатские орлы» генерал-майор В.М. Малкин вспоминал: «После того как генерал Петров вручил орден Славы 2-й степ. командиру стр. отделения А.А. Гришину, отличившемуся в боях на Крымском полуострове, агитатор красноармеец Михаил Платонов по заданию парторга роты подготовил обстоятельную беседу об опыте Гришина. «Как отделение сержанта Гришина захватило вражеский дзот в горах» - такова была тема беседы агитатора. Я внимательно слушал Платонова. Говорил он просто и дельно. И это нравилось бойцам.

Кусты Гришин использовал очень умело, тщательно замаскировался и дополз до вражеского дзота незамеченным, а потом в амбразуру полетели гранаты. Вот и все. Вроде просто? – спрашивал Платонов своих слушателей. И сам же отвечал: - Конечно. Но просто – при условии, что ты соображаешь, как надо действовать… Просто, если ты смел и настойчив, если ты умеешь гранату бросить как надо и куда надо».

Приказом Верховного Главнокомандующего 327-му гв. стр. полку под командованием майора С.А. Вайсмана за участие в освобождении города было присвоено наименование Севастопольского.

Во время наступления на Моравско-Остравском направлении 15-20 апреля 1945 г. в боях в районе населенного пункта Гожице (16 км юго-западнее г. Рыбник, Польша) помощник командира взвода тех же полка, дивизии (1-я гв. армия, 4-й Украинский фронт) старшина Гришин личным примером воодушевлял воинов, в критический момент заменил выбывших из строя командира взвода, затем и командира роты. Огнем из автомата уничтожил 14 гитлеровцев и 6 взял в плен. В результате подразделение выполнило боевую задачу. 29 июня 1945 г. награжден орденом Славы 1-й степ.

В сентябре 1945 г. демобилизован. Жил в г. Актюбинске Казахской ССР. Работал заместителем управляющего областной конторы кинопроката.

Награжден 2 орденами Красной Звезды, медалями. Его именем названа одна из улиц г. Актюбинска.

Умер 24 июля 1980 г.