Родился 19 августа 1920 г. в д. Коробово Спас-Клепиковского р-на Рязанской губ. (ныне Клепиковский р-н) в крестьянской семье Трофима Карповича и Домны Мартыновны Синельщиковых. Окончил среднюю школу. Работал в местном промысловом хозяйстве. Позднее переехал в Московскую обл. После окончания школы ФЗО при Шатурской ГРЭС Московской обл. работал на ней слесарем до призыва в армию в октябре 1940 г. Служил слесарем в мастерской танкового полка, дислоцированного в г. Львове (Украина), ремонтировал танки, броневики, автомашины, но мечтал управлять боевой техникой. Вскоре из молодых солдат была сформирована группа по овладению специальностью механика-водителя танка. Синельщиков самостоятельно обкатывал танки после ремонта.

Из воспоминаний: «Рано утром 22 июня 1941 г. нашу часть бомбили фашистские самолеты. В составе Юго-Западного фронта мы с боями отходили в сторону Киева, Харькова, Чугуева…».

В марте 1942 г. Синельщиков направлен в 20-й учебный танк. полк для переподготовки на механика-водителя танка. Воевал на Юго-Западном, Западном, Центральном, 2-м и 3-м Белорусских фронтах. В составе 19-го разведывательного танк. батальона принимал участие в битве на Курской дуге, других сражениях; был механиком-водителем танка Т-34. С августа 1943 г. воевал на Западном фронте. При взятии г. Ельни (Смоленская обл.) его танк первым ворвался в город, раздавил 2 вражеских орудия, подавил 3 пулемета. В этом бою Синельщиков был ранен.

В январе 1944 г. после излечения прибыл в запасной танковый полк, освоил новую машину. Летом 1944 г. в составе другого экипажа направлен на 2-й Белорусский фронт, воевал в составе 18-й гв. танк. бригады Кантемировского танк. корпуса. Из воспоминаний: «Новый экипаж – это командир танка лейтенант Меньшиков, командир орудия сержант Саша Шмелев, заряжающий мл. сержант Епифанов, радист Яков Звездин, ну, и механик-водитель Синельщиков. Все уже знали запах пороха, бывали в боях. Так что экипаж подобрался что надо». Участвовал в освобождении Белоруссии, Польши, прошел с боями Восточную Померанию. 18-я гв. танк. бригада за отличия в боях по освобождению Белоруссии получила почетное наименование Минской; экипаж Синельщикова записал на свой счет 2 «тигра» и «фердинанд».

Механик-водитель 3-го танк. батальона (18-я гв. танк. бригада, 5-я гв. танк. армия, 1-й Прибалтийский фронт) гв. сержант Синельщиков 6 октября 1944 г. в бою в районе населенного пункта Пежи (39 км западнее г. Шяуляй, Литва), умело маневрируя боевой машиной, помог экипажу уничтожить 2 тяжелых танка противника, самоходное орудие и свыше 10 немецких солдат. 15 декабря 1944 г. награжден орденом Славы 3-й степ.

25-28 февраля 1945 г. в наступательных боях в районе населенных пунктов Яжелибец и Боболице (Польша) танк гв. старшины Синельщикова (18-я гв. танк. бригада, 3-й Белорусский фронт) прошел с боями 80 км без единой аварии. 27 февраля 1945 г. экипаж одним из первых ворвался в г. Бублиц (ныне Боболице), уничтожил пушку, 3 пулеметные точки и свыше отделения живой силы противника. 23 апреля 1945 г. награжден орденом Славы 2-й степ.

В апреле 1945 г. в боях на левом берегу р. Одер южнее г. Штеттин (ныне Щецин, Польша) механик-водитель той же бригады (3-й гв. танк. корпус, 70-я армия, 2-й Белорусский фронт) Синельщиков, действуя в составе экипажа, поджег головную машину вражеской колонны на шоссе Берлин – Штеттин и уничтожил большое количество боевой техники и живой силы противника. Войну закончил 6 мая 1945 г. в г. Висмар (Германия), где их часть встретилась с войсками союзников. 14 мая 1945 г. награжден орденом Славы 2-й степ. 1 октября 1968 г. перенагражден орденом Славы 1-й степ.

После демобилизации в июле 1946 г. вернулся в деревню, работал в МТС. В 1950 г. с семьей переехал в поселок объединения «Электроизолятор» Раменского р-на Московской обл. Работал в Гжельском СМУ-5 «Главмособлстроя» слесарем, механиком участка, позже, без отрыва от производства окончив техникум, – главным механиком. Синельщиков пользовался большим авторитетом среди коллег и жителей поселка, часто выступал с воспоминаниями о войне в школах, был наставником молодежи. В 1970-е годы Матвей Трофимович стал героем телепередачи «Золото, а не машина» из цикла «Солдатские мемуары», подготовленного писателем К.М. Симоновым.

Награжден орденом Отечественной войны 1-й степ., медалями.

Умер 10 февраля 1997 г.

На площади Победы в г. Раменское у Вечного огня имя Матвея Трофимовича Синельщикова высечено золотом на мраморной плите мемориала. На доме в пос. Электроизолятор, где жила его семья, установлена мемориальная доска. 1 июля 2005 г. в г. Спас-Клепики открыт мемориальный комплекс в честь клепиковцев – Героев Советского Союза и полных кавалеров ордена Славы. На церемонии открытия мемориала присутствовали сыновья Матвея Трофимовича: Юрий Матвеевич и Вячеслав Матвеевич Синельщиковы.